“……由上，可得知对任意正整数n≥2，至少存在一个素数使得nltlt2n。”程诺边说，一旁那位队友便在纸上唰唰的记着，双眼中满是掩饰不住的兴奋之色。

本以为程诺能提出一个新方向的证明方法，已经是实属难得，可未曾料想，程诺一口气直接提出了两个。

但程诺让两人的惊讶还在继续。

程诺瞥见记录的那位队友已经记完，清了清嗓子，开口道，“再说第三个。”

“还有？”队友诧异出声。

“当然还有。”程诺笑呵呵地说道，望着揉着手腕的队友，“这才哪到哪！”

“第三种，利用代数数论的知识证明。利用代数数论手段证明素数有无穷多个的出发点之一是利用所谓的欧拉φ函数。”

“对任一正整数n，欧拉φ函数的取值φ（n）定义为：φ（n）：=不大于n且与n互素的正整数的个数。对任一素数，φ（）=-1，这个是因为1，，-1这-1个不大于的正整数显然都跟互素。”

“然后，对两个不同的素数1和2，φ（12）=（1-1）（2-1），这是因为……”

第四百四十五章 九个方向

“这是因为，从1到12这12个正整数中，1，21，，21这2个正整数跟12有共同素因子1；2，22，，12这1个正整数跟12有共同素因子2；其余全都跟12互素。”

“由此，可以得到φ（12）为12-2-1，上述的推理可以无穷重复，进而表明素数有无穷多个。”

仅仅不到四五分钟的时间，程诺已经不停歇的说出三个利用新方向的证明法，让两位队友不禁大开眼界。

要这三个证明法都仅仅是欧里几得证明法的变种的话，两位顶多会认为程诺对欧里几得证明法研究颇深而已，倒升不起任何崇拜之意。

但三个证明法全部都不同于欧里几得那种整数乘起来再做点加减法的证明，而是另辟蹊径，分别利用“互素序列”、“素数分布”、“代数数论”三个完全不同的方向进行拓展。

程诺说出的三个证明法都不算太过复杂，甚至还可以说是简单的过分。