“正是在那个时期，穆勒教授你证明了如果c是逼近紧集，则投影算子是上半连续的。”沈奇说到。

“是的，这大概是我当时所做唯一有价值的事情。但没有什么用，其他的论述无法有效衔接，所以iu一直没有承认我在1982年提出的定理。”穆勒在六十多岁的时候，总结了自己三十多岁时的表现，总而言之就是年轻人没经验吧。

“所以基于穆勒教授的这个证明，我大胆提出新的定义，请看……”沈奇将一张白纸递给穆勒。

穆勒看过沈奇的手稿后，非常肯定的说了一句话：“我认为iu将在三个月之内承认‘穆勒—沈定理’。”

“或许应该叫‘沈—穆勒定理’，沈奇你做出的贡献更大。”穆勒教授补充说到。

第246章 导修课

研究巴拿赫空间之前，我们有必要完全弄清楚巴拿赫空间、希尔伯特内积空间、赋范线性空间这三者之间的区别和联系。

赋范线性空间是距离空间，希尔伯特内积空间必然是赋范线性空间，巴拿赫空间是完备的赋范线性空间。这是三者间的基本关系。

作为资深专家，具备大师水平的数学研究者，穆勒和沈奇同样需要依托最基础的理论去证明体系内的定理。

内积空间中的内积可以定义范数，而范数不一定非要内积来定义。希尔伯特空间是巴拿赫空间的特例，而巴拿赫空间是完备距离空间的特例。

所以，沈奇基于穆勒在1982年的一条证明重新定义如下：

“巴拿赫空间x的一个非空子集c称为逼近紧的，是指对任意{xn}∞n=1∈c及任意y∈x，如果使得

‖xn-y‖→dist（y，c）=f{‖xn-y‖：x∈c}，

那么{xn}∞n=1就存在一个柯西列，称x是逼近紧的，且x的每个闭凸子集是逼近紧。”

“思路逐渐清晰，沈奇你认为一个巴拿赫空间x是逼近紧的当且仅当它具备dro性质。”穆勒教授再次检查沈奇设定的前提条件。

巴拿赫空间综合了泛函分析、拓扑、空间几何等诸多分支，是一个有难度的领域，不适合初学者接触。